【実解析】各点収束と一様収束の違い【一様が強い】

経済学の動学的最適化や計量経済学の推定理論を学んでいると、「関数列の収束」という壁にぶつかることがあります。

「各点収束」と「一様収束」

言葉は似ていますが、その性質には決定的な違いがあります。

一言で要点をまとめると、

一様収束は各点収束よりも強い概念

となっています。

この記事では、数式が苦手な方でもイメージを掴めるよう、グラフや具体例を交えてこの2つの違いをわかりやすく解説します。

Contents

1 イメージでつかむ「各点収束」vs.「一様収束」
2 \(\varepsilon-\delta\) 論法を使った数学的定義
- 2.1 具体例：一様収束しない関数列 \(x^{n}\)
3 まとめ

イメージでつかむ「各点収束」vs.「一様収束」

数学的定義は後に回し、まずはイメージでの理解を説明します。

「各点収束」は個別の点での追いかけっこ

まず、各点収束 (pointwise convergence) について説明します。これは、ある点 \(x\) を一つ固定したときに、その点での値 \(f_n(x)\) が \(f(x)\) に近づいていく状態を指します。

イメージ: 各 \(x\) 地点に観測者がいて、「自分の地点では目標値に近づいた！」とバラバラに報告している状態。
弱点: 点によって収束のスピードがバラバラでも許されます。そのため、収束先の関数 \(f(x)\) が元の \(f_n(x)\) の性質（連続性など）を引き継がないことがあります。

「一様収束」は関数全体のパレード

一方で一様収束 (uniform convergence) は、すべての \(x\) において「同時」かつ「一斉」に収束することを要求します。

イメージ: 関数全体が、目標の関数 \(f(x)\) を中心とした「一定の幅（バンド、チューブ、またはスリーヴ）」の中にすっぽり収まるように近づいていく状態。
「一様」の意味: どの \(x\) をとっても、収束のスピードに「手抜き」がないということです。

どちらが強いか？

結論、一様収束の方が、各点収束よりも強い概念です。

すなわち、関数列 \( f_{n}(x) \) が関数 \( f(x) \) に一様収束するならば、関数列 \( f_{n}(x) \) は関数 \( f(x) \) に各点収束します。

重要！

一様収束は各点収束より強い！

具体例：一様収束しない関数列 \(x^{n}\)

一様収束しない有名な例として、\(x^{n}\) \((0\le x\le 1)\) を紹介します。 \(n\) を大きくすると、\(x=1\) 以外では \(0\) に収束しますが、\(x=1\) では常に \(1\) です。

収束前の \(x^n\) はすべて連続なのに、収束先は \(x=1\) でパツンと切れた不連続な関数になります。
これが「各点収束だけでは不十分」であることの証明です。

\(\varepsilon-\delta\) 論法を使った数学的定義

それでは、より正確に「各点収束」と「一様収束」を理解するために、数学的定義についても理解しましょう。（簡単のため、ここでは定義域は \(X\) であるとします）

まずは「各点収束」から定義します：

定義A（各点収束）

関数列 \( \{ f_{n} \} \) が関数 \( f \) に各点収束 (pointwise convergence) するとは：

\[ \forall x\in X \qquad \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = f(x) \]

が成り立つことである。

一方で「一様収束」の定義は以下のようになります：

定義A（一様収束）

関数列 \( \{ f_{n} \} \) が関数 \( f \) に一様収束 (uniform convergence) するとは：

\[ \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in X} \left| f_{n}(x) - f(x) \right| = 0 \]

が成り立つことである。

先ほど説明した通り、各点収束の方は、先に \(x \in X\) という点が固定されています。そのため、\( f_{n}(x) \) たちは「値」として \(f (x) \) という「値」に収束します。

一方、一様収束では、どんな \(x\) を選んだとしても \( |f_{n}(x)-f(x)| \) が収束するようになっています。

これらの定義は、\(\lim\) の定義を使って、以下のように書き換えることができます：

定義B（各点収束）

関数列 \( \{ f_{n} \} \) が関数 \( f \) に各点収束 (pointwise convergence) するとは：

\[ \forall \varepsilon>0 \quad \forall x\in X \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall n>N \quad \left| f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon \]

が成り立つことである。

定義B（一様収束）

関数列 \( \{ f_{n} \} \) が関数 \( f \) に一様収束(uniform convergence) するとは：

\[ \forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall x\in X \quad \forall n>N \quad \left| f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon \]

が成り立つことである。

「各点収束」「一様収束」ともに、\(\lim\) の定義を使って書き換えただけなので、それぞれの定義Aと定義Bは同値です。

ここで、定義B（各点収束）と定義B（一様収束）を比較してみましょう。

各点収束では、2番目と3番目が

\[ \forall x\in X \quad \exists N\in\mathbb{N} \]

という順番になっていますが、一様収束では、

\[ \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall x\in X \]

という順番になっています。

集合論などの授業で学習する通り、先に \(\exists\) があって次に \(\forall\) という順番の方が強い条件となります。

そのため、各点収束よりも一様収束の方が強い概念であるということを、機械的に確かめることができます。

具体例：一様収束しない関数列 \(x^{n}\)

先ほどの具体例を今度は数学的定義に基づいて考えてみましょう。

関数列 \( f_{n}(x) = x^{n}\) \((0\le x\le 1)\) は関数

\[ f(x) = \begin{cases} 0 \quad (0 \le x < 1) \\ 1 \quad (x=1) \end{cases} \]

に一様収束しないのでした。

これを先ほどの定義Aを使って確かめてみましょう。

例：関数列 \(x^{n}\)

\[ \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in X} \left| f_{n}(x) - f(x) \right| = 1 \ne 0 \] であるため、一様収束しない。
\[ 0 \le x < 1:\qquad \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = \lim_{n\to\infty} x^{n} = 0 = f(x) \]
\[ x=1:\qquad \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = \lim_{n\to\infty} x^{n} = 1 = f(x) \]
が満たされるため、各点収束する。

よって、関数列 \( f_{n}(x) = x^{n}\) \((0\le x\le 1)\) は関数 \( f(x) \) に各点収束するが一様収束しないことが確かめられました。